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STAGE - LOGARITHME NÉPÉRIEN, CROISSANCES COMPARÉES, DÉRIVATION

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Fonctions composées - ln (u(x))

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Fonctions composées $\ln(u(x))$


Théorème

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par:

$\displaystyle f(x) = \ln(u(x))$ où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$,

alors $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = \displaystyle\dfrac{u'(x)}{u(x)}.$


Exemple

Déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction $f$ définie par : 

$\displaystyle f(x) = \ln(x^2+x+1)$

 

Le discriminant $\Delta = 1-4= -3$ donc

$x^2+x+1 > 0$.

La fonction est donc définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a :

$u(x)=x

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