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LINÉARITÉ DE L'ESPÉRANCE

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Linéarité de l'espérance.

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Linéarité de l'espérance

 

Propriétés :


Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_i$, de probabilités $p_i$ et Y, les valeurs $y_i$, de probabilités $q_i$ pour $i$ variant de $1$ à $n$,

Soit $a \in \mathbb{R}$,

On a :

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$

$\mathbb{E}(aX) = a\mathbb{E}(X)$

On dit que l'espérance est linéaire. 

 

Démonstration :


Soit $a \in \mathbb{R}$,

Par définition de l'espérance mathématique,

$\mathbb{E}(X)  = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_ix_i$.

Donc

$\mathbb{E}(aX)  = \displa

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