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THÉORÈMES DE BEZOUT, GAUSS

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Théorèmes de Bezout - Gauss

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Théorèmes de Bezout et Gauss


Définition

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut $1$.

 

Théorème de Bezout

Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels non nuls.

Si on note $d=PGCD(a;b)$, alors il existe 2 entiers relatifs $u$ et $v$ tels que :

$au+bv=d$

$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si :

$au+bv=1$.



Exemple

Montrer que (2n + 1) et (3n + 2) sont premiers entre eux $\forall n \in \mathbb{N}$.

 

Il s'agit de trouver des coefficients $u$ et $v$ pour que

$u(2n + 1) + v(3n + 2) = 1$.

On choisit astucieusement $u$ et $v$ pour faire disparaître les te

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